Calcul des débits de vidange en vrac des trémies et silos

Cette page présente différentes méthodes issues de la littérature permettant d’effectuer le calcul du débit de décharge d’une trémie et d’estimer le débit massique de poudre d’un bac existant, ou de dimensionner une nouvelle trémie/silo pour obtenir un débit de décharge requis.

1. Définition

Les ingénieurs de procédés doivent souvent estimer le débit de poudre, ou plus généralement de solides en vrac, qu’ils peuvent obtenir d’une trémie par vidange gravitaire. En effet, le calcul du **débit massique** des solides particulaires permet de dimensionner la sortie des trémies ou silos, de calculer les temps de cycle ou de s’assurer que la capacité de décharge est suffisante pour le procédé en aval. Cependant, le calcul du débit de décharge d’un écoulement libre de solides n’est pas simple et dépend de nombreux paramètres. Cette page présente différentes méthodes issues de la littérature pouvant être utilisées pour évaluer le débit de décharge de poudre hors d’une trémie.

2. Méthode 1 de calcul du débit de décharge d’une trémie : utilisation des données de cellules de cisaillement

Afin d’estimer le débit de décharge d’un silo, l’une des méthodes les plus fiables consiste^{premièrement} à avoir évalué l’aptitude à l’écoulement (*flowability*) du matériau qui sera stocké dans la trémie. Différentes méthodes sont disponibles pour évaluer cette aptitude, mais l’une des plus fiables, permettant d’obtenir des données quantitatives et non une simple évaluation relative, consiste à utiliser des **cellules de cisaillement**. Cette méthode nécessite de nombreux essais pour déterminer les propriétés d’écoulement de la poudre mais fournit les bases pour la **conception des trémies** et l’estimation du débit de décharge. La méthode distingue les poudres grossières des poudres fines.

Ces formules sont rapportées dans l’article : Utilisation des propriétés fondamentales des poudres pour optimiser l’aptitude à l’écoulement, *Tablets and Capsules*, Mehos *et al.*, 2017

2.1 Débit de décharge des poudres grossières

La formule suivante peut être utilisée pour évaluer le débit de décharge des poudres grossières :

Avec :

{\dot{m}} = débit de décharge de la trémie en kg/s
B = diamètre de sortie de la trémie en m
ρ_{_bo_} = masse volumique apparente de la poudre en conditions de sortie en kg/m³
θ' =angle d’écoulement en vrac dans la trémie en degrés

2.2 Débit de décharge des poudres fines

L’écoulement des poudres fines est généralement inférieur à celui des poudres grossières. La fluidisation et l’équilibrage de l’air – écoulement d’air de l’aval vers le haut – sont préjudiciables au débit massique de la poudre.

La formule suivante peut être utilisée pour évaluer le débit de décharge des poudres fines.

Avec :
{\dot{m}} = débit de décharge de la trémie en kg/s
B = diamètre de sortie de la trémie en m
ρ_{_bo_} = masse volumique apparente de la poudre en conditions de sortie, en écoulement, en kg/m³
ρ_{_bmax_} = masse volumique apparente de la poudre à la contrainte de consolidation majeure dans la trémie, en kg/m³

K_{_o_} = perméabilité de la poudre en conditions de sortie, en m/s

La contrainte majeure de consolidation peut être calculée avec l’**équation de Janssen** :

Avec :

D = diamètre du cylindre – pour l’ expérience en **cellule de cisaillement** – en m
h = hauteur de poudre dans la section cylindrique en m
k = coefficient de Janssen ; si inconnu, une première approximation peut être fixée à 0,4
Φ' = angle de frottement sur paroi en degrés
σ₁ = contrainte principale de consolidation

ρ_b = masse volumique apparente à la sortie de la trémie, en état statique

3. Méthode de calcul du débit de vidange de trémie 2 : méthodes empiriques

Ces formules sont rapportées dans le Perry, 8ème édition

3.1 Particules grossières (> 400 microns)

2 types d'équations sont généralement rencontrés dans la littérature : l'équation de Johanson et l'équation de Beverloo. Il est à noter que ces équations permettent d’ estimer le débit, mais en aucun cas d’obtenir une valeur précise.

L'équation de Beverloo est l'expression la plus directe, bien que différents paramètres "globaux" soient utilisés. Il est important de noter que, pour les particules fines, l'équation de Beverloo surestimera le débit de vidange (en réalité, lors de la vidange de particules fines, une fluidisation par l'air se produit, ce qui est préjudiciable au débit par rapport aux grosses particules).

Équation de Beverloo

Équation 4 : Équation de Beverloo (débit de vidange pour particules grossières)

W = débit de vidange en kg/s
C = coefficient de décharge empirique
k = coefficient de forme empirique
ρ_b = masse volumique apparente en kg/m^³
g = accélération gravitationnelle 9,81 m.s^⁻²
dp = diamètre des particules en m
d_₀ = diamètre de vidange en m (note : pour une sortie non circulaire, utiliser le diamètre hydraulique 4*(surface de section)/(périmètre de sortie))

C = f(ρ_b) et se situe dans la plage 0,55 < C < 0,65
k = f(formes des particules, angle de trémie) et se situe dans la plage 1 < k < 2 sauf pour le sable où k = 2,9

Si inconnus, considérer C = 0,58 et k = 1,6

L'équation de Johanson a la forme suivante :

Équation de Johanson

Équation 5 : Équation de Johanson (débit de vidange pour particules grossières)

m_discharge = débit de vidange en kg/s
θ = angle de la trémie en degrés
ρ_b = masse volumique apparente en kg/m³
g = accélération gravitationnelle 9,81 m.s⁻²

Tableau 1 : Paramètres pour l'équation de Johanson

Paramètre	Trémie conique	Trémie en auge
B	D (diamètre de sortie)	W
A	π*D²/4	W*L
m	1	0

3.2 Particules fines (< 400 microns)

Comme mentionné précédemment, l'écoulement des particules fines sera sensible au flux d'air remontant depuis le point de décharge et s'opposant à l'écoulement du matériau. Le débit de vidange peut alors être 100 fois inférieur à celui prédit par les équations de Beverloo ou Johanson. Carleton propose une équation pour estimer le débit de vidange des particules fines.

Équation de Carleton

Équation 6 : Équation de Carleton (débit de vidange pour particules fines)

V_₀ = vitesse moyenne des solides en vidange
A, B = donnés ci-dessus
ρ_p = masse volumique des particules